Математический анализ Предел функции [an error occurred while processing this directive] Производная и дифференциал интегрирование

Предел функции свойства пределов

С физической точки зрения производная - это скорость. С геометрической производная - это тангенс угла наклона (угловой коэффициент) касательной. С точки зрения практического анализа производная функции - это функция, которая отвечает за ее (функции ) возрастание и убывание.

Критерий Коши существования предела функции

В настоящем пункте по аналогии со случаем последовательностей будет получено необходимое и достаточное условие того, что функция имеет конечный предел в данной точке x0.

Теорема 5 (критерий Коши). Для того чтобы функция  имела в точке x0 конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы для любого e > 0 существовало такое d>0, что для любых x1ÎX и x2ÎX, удовлетворяющих условиям , выполнялось неравенство

 .

Если же x0=¥, то критерий Коши имеет следующий вид:

для любого e > 0 существует такое d > 0, что для любых x1ÎX и x2ÎX,
удовлетворяющих условиям , выполняется неравенство .

Доказательство. Необходимость. Пусть  и . Это означает, что для любого e > 0 существует такое d > 0, что для всех точек  справедливо неравенство

 .

Выберем x1ÎX и x2ÎX так, чтобы выполнялись условия . Тогда имеем

 . □

Достаточность. Пусть функция  такова, что для любого e > 0 существует такая окрестность точки x0, что для всех точек  из этой окрестности справедливо неравенство

 .

Покажем, что отсюда следует существование у функции f конечного предела в точке x0. Возьмём какую-либо последовательность  и произвольно зададим e>0. Для этого e, согласно сделанному предположению, существует такая окрестность точки x0, для всех точек  из которой справедливо неравенство

 .

Поскольку последовательность xn сходится к x0, существует такое N, что все xn при n > N попадают в указанную окрестность точки x0. Поэтому для всех n > N, m > N

 ,

т. е. числовая последовательность  удовлетворяет условиям критерия Больцано–Коши для числовых последовательностей и, следовательно, сходится.

Таким образом, для каждой последовательности , последовательность  сходится. Отсюда, как известно, следует существование конечного предела . □

Доказательства для бесконечно удалённой точки x0 проводится по аналогии.

Логарифм по основанию e (e - трансцендентное число, приближенно равное 2,718281828...) называется натуральным логарифмом. Натуральный логарифм числа x обозначается ln x. Натуральные логарифмы широко используются в математике, физике и инженерных расчетах.
Математические выражения